Der synodische Monat ist die "durchschnittliche Periode der Mondumdrehung in Bezug auf die Verbindungslinie zwischen Sonne und Erde". In diesem Monat bewegt sich die Erde jedoch auch in ihrer Umlaufbahn um die Sonne. Von unserem Standpunkt aus scheint sich die Sonne in Bezug auf die Hintergrundsterne am Himmel zu bewegen, in der gleichen Richtung, in der sich der Mond in Bezug auf die Hintergrundsterne am Himmel bewegt.

Ihre Berechnung befasst sich mit der Sternmonat, also ist Ihr Ergebnis die Berechnung des Sternjahres.

Wenn die Sonne an dieselbe Stelle am Himmel zurückkehrt, ist dies das Sternjahr, dessen Länge ist 365.256363004 Tage, sehr nah an Ihrer Berechnung. Warum ist das 20 Minuten vom tropischen Jahr entfernt? Weil das tropische Jahr (das Jahr, in dem die Jahreszeiten während des gesamten Kalenderjahres an Ort und Stelle bleiben) etwas kürzer ist als das Sternjahr.

Das tropische Jahr beträgt ungefähr 20 Minuten kürzer als die Zeit, die die Erde benötigt, um eine vollständige Umlaufbahn um die Sonne zu absolvieren, gemessen in Bezug auf die Fixsterne (das Sternjahr).

Sie haben gerade den Unterschied zwischen dem Sternjahr und festgestellt das tropische Jahr, und das war kein Zufall.

Addition

Die Anzahl der Sternmonate in einem Sternjahr ist eins mehr als die Anzahl der synodischen Monate in einem Sternjahr. Das liegt daran, dass die Erde (natürlich) einmal im Jahr um die Sonne geht, was zu einem weniger synodischen Monat als einem Sternmonat führt.

Hier ist $ P_ {syn} $ die synodische Periode und $ P_ { sid} $ ist die Sternperiode und $ Y_ {sid} $ ist das Sternjahr, alles in Tagen.

$$ \ frac {Y_ {sid}} {P_ {sid}} = \ frac {Y_ {sid}} {P_ {syn}} + 1 $$

Wenn Sie beide Seiten durch $ Y_ {sid} $ teilen, erhalten Sie:

$$ \ frac {1} { P_ {sid}} = \ frac {1} {P_ {syn}} + \ frac {1} {Y_ {sid}} $$

Auflösen nach $ Y_ {sid} $ ...

$$ \ frac {1} {P_ {sid}} - \ frac {1} {P_ {syn}} = \ frac {1} {Y_ {sid}} $$

oder

$$ P_ {sid} ^ {- 1} - P_ {syn} ^ {- 1} = \ frac {1} {Y_ {sid}} $$

Multipliziert man beide Seiten mit $ Y_ {sid} $ und dividiert beide Seiten durch $ P_ {sid} ^ {- 1} - P_ {syn} ^ {- 1} $ ergibt

$$ Y_ {sid} = \ frac {1} {P_ {sid} ^ {- 1} - P_ {syn} ^ {- 1}} $$

Die Formel: -

\ begin {Gleichung} \ tag {A} \ frac {1} {P_ {sid} ^ {- 1} -P_ {syn} ^ {- 1}} = P_ {e} \ end {Gleichung}

(wobei $ P_ {e} $ die Sternperiode der Erde in ihrer Umlaufbahn um die Sonne ist)

kann mit abgeleitet werden Mit Hilfe von Abb. 1 unter Verwendung der verschiedenen Achsenrahmen und unter Berücksichtigung der folgenden vereinfachenden Annahmen über die Bewegungen von Sonne, Erde und Mond: -

1. Erde hat eine kreisförmige Umlaufbahn um die Sonne mit konstanter Geschwindigkeit und einer festen Periode $ P_ {e} $

2. Mond hat eine kreisförmige Umlaufbahn um die Erde mit konstanter Geschwindigkeit und einer festen Periode $ P_ {sid} $. (Somit ist der Weg des Mondes zum festen Sonnenrahmen ein Epizyklus , dh ein kleiner Kreis, dessen Mittelpunkt sich entlang des Umfangs eines größeren Kreises bewegt, in diesem Fall der Erdumlaufbahn.)

3. Die beiden oben genannten Umlaufbahnen beschränken sich auf eine gemeinsame Ebene (die Ekliptische Ebene )

4. Aus der Blickrichtung (dh "Norden") sowohl die Erd- als auch die Mondumlaufbahn gegen den Uhrzeigersinn

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Im Diagramm sind die Winkel $ \ theta $, $ \ phi $, $ \ psi $ und $ \ pi + \ theta $ sind alle "Polarkoordinatenwinkel" für die relevante $ x $ -Achse. Der Achsenrahmen $ x'y '$ zeigt immer in Richtung Sonne und bewegt sich mit der Erde in ihrer Umlaufbahn. Die $ y '$ -Achse ist die' Mittagslinie ', die immer zur Sonne zeigt. Die Mondphasen werden durch den Phasenwinkel $ \ psi $ bestimmt, den der Mond auf der $ x '$ -Achse bildet: -



Konjunktion bedeutet in Übereinstimmung mit und in derselben Richtung wie die Sonne, Opposition bedeutet in Übereinstimmung mit, aber in entgegengesetzter Richtung wie die Sonne.

Aus dem Diagramm ist leicht ersichtlich, dass: -

$$ \ psi = \ pi / 2 + (\ phi - \ theta) $$

Aber wir könnten schreiben: -

\ begin {eqnarray *} \ theta & = & \ omega_ {e} t + \ theta_ {0} \\\ phi & = & \ omega_ {m} t + \ phi_ {0} \\\ end {eqnarray *}

wobei $ \ omega_ {e} $ = konstante Winkelgeschwindigkeit der Erde (Bogenmaß pro Sekunde), $ \ omega_ {m} $ = konstante Winkelgeschwindigkeit von der Mond und $ \ theta_ {0} $, $ \ phi_ {0} $ sind die Winkel zum Zeitpunkt $ t $ = $ 0 $.

Also

$$ \ psi = (\ omega_ {m} - \ omega_ {e}) t + (\ phi_ {0} - \ theta_ {0}) + \ pi / 2 $$

und ändern Sie so $ \ Delta \ psi $ in $ \ psi $ nach einer Zeit $ \ Delta t $ ist gegeben durch

$$ \ Delta \ psi = (\ omega_ {m} - \ omega_ {e}) \ Delta t $$

Somit ändert sich der Mondphasenwinkel $ \ psi $ linear mit der Zeit mit der konstanten Rate von $ \ omega_ {m} - \ omega_ {e} $.

Seit $ \ omega_ { m} = 2 \ pi / P_ {sid} $ und $ \ omega_ {e} = 2 \ pi / P_ {e} $ haben wir dann

$$ \ Delta \ psi = 2 \ pi ( 1 / P_ {sid} - 1 / P_ {e}) \ Delta t $$

Die synodische Periode des Mondes ist einfach die Zeit, die der Mondphasenwinkel $ \ psi $ benötigt, um voll zu werden Zyklus, dh $ 2 \ pi $ Radiant (= $ 360 ^ {\ circ} $). Wenn Sie also $ \ Delta \ psi $ = $ 2 \ pi $ in die letztere Formel einfügen, erhalten Sie $ P_ {syn} $ = $ \ Delta t $ ie

$$ P_ {syn} = \ frac {1} {1 / P_ {sid} - 1 / P_ {e}} $$

oder

$$ \ frac {1} {P_ {syn}} = \ frac {1} {P_ {sid}} - \ frac {1} {P_ {e}} $$

, das leicht neu angeordnet werden kann, um die erforderliche Formel (A) zu erhalten. Kurz gesagt, wir subtrahieren nur zwei Winkelgeschwindigkeiten - aber diese richten sich nach dem Kehrwert der relevanten Umlaufzeit $ P $, daher den Kehrwerten in der Formel.

Nehmen Sie die Werte $ P_ {sid} = 27.321661 $ Tage (von https://en.wikipedia.org/wiki/Moon)) und $ P_ {e} = 365.256363 $ Tage (von https) : //en.wikipedia.org/wiki/Sidereal_year) Dies gibt als Synodenperiode des Mondes an: -

$$ P_ {syn} = 29.530588 \ mbox {Tage} $$

, das sich nur um 0,000001 vom Wikipedia-Wert von 29,530589 Tagen unterscheidet, wobei 'Tag' SI-Tag = 86.400 SI-Sekunden ist.

Die auf Wikipedia angegebenen Zahlen für diese drei Umlaufzeiten $ P_ {syn} $, $ P_ {sid} $ und $ P_ {e} $ sind also durch die Formel sehr eng verwandt. A), so dass einer von ihnen aus den beiden anderen berechnet wurde. Es handelt sich also nicht um vollständig tatsächlich experimentell beobachtete Zahlen, die auf Wikipedia (oder auf WolframAlpha) zitiert wurden. Denn wir könnten NICHT erwarten, dass die tatsächlichen Zahlen durch die Formel (A) so genau in Beziehung gesetzt werden, da die oben genannten vereinfachenden Annahmen (1) - (4) erforderlich sind, um diese Formel (die tatsächlichen Umlaufbahnen) abzuleiten sind nicht perfekt kreisförmig und befinden sich nicht genau in derselben Ebene).

(HINWEIS: Die Zahl, die ich für $ P_ {e} $ habe, beträgt 365,256363 Tage und für das tropische Jahr 365,242189 Tage von Wikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Sidereal_year), wobei 'Tag' SI-Tag = 86.400 SI-Sekunden ist. Dies unterscheidet sich geringfügig von den von Ihnen angegebenen Werten.)

Eine reziproke Typformel gilt auch für die Synodenperiode zwischen zwei Planeten , die die Sonne umkreisen (siehe Abb. 2 unten), wiederum mit den vereinfachenden Annahmen von Kreisbahnen in derselben Ebene: -

$$ \ frac {1} {P_ {syn}} = \ frac {1} {P_ {1}} - \ frac {1} {P_ {2}} $$

wobei $ P_ {1} $ und $ P_ {2} $ die Umlaufzeiten der Planeten sind und $ P_ {1} < P_ {2} $.

Dieselbe Art von Formel ist abgeleitet, weil: -

$$ \ psi = \ phi - \ theta $$

und daher gilt die obige Ableitung sehr ähnlich.