Die Newtonsche Schwerkraft einer Punktquelle kann durch ein Potential $ \ Phi = - \ mu / r $ beschrieben werden. Wenn wir eine räumliche Dimension unterdrücken und stattdessen den Wert dieses Potentials grafisch darstellen, erhalten wir etwas, das dieser Abbildung sehr nahe kommt und tatsächlich unendlich tief im Zentrum liegt - zumindest bei der Idealisierung einer Punktmasse . Und weiter vom Zentrum entfernt geht es flach, genau wie es viele Illustrationen wie diese haben.
Illustrationen wie diese sind ziemlich häufig, und ich vermute, dass sie letztendlich vom Newtonschen Potenzial inspiriert sind. weil sie fast nichts mit der Raumzeitkrümmung zu tun haben.
Hier ist eine isometrische Einbettung der Schwarzschild-Geometrie zu einem Zeitpunkt der Schwarzschild-Zeit, wiederum mit einer unterdrückten Dimension:
Über dem Horizont (roter Kreis) ist die Oberfläche ein Stück eines Paraboloids (das Flamm-Paraboloid ). Im Gegensatz zum Potenzial wird es bei großen Entfernungen nicht flach.
Isometrisch bedeutet, dass es die räumlichen Entfernungen über dem Horizont zu einem Zeitpunkt der Schwarzschild-Zeit korrekt darstellt. Unterhalb des Horizonts ist die Einbettung technisch nicht genau, da die Schwarzschild-Radialkoordinate dort nicht den Raum, sondern die Zeit darstellt. Wenn wir so tun, als wäre es raumartig unter dem Horizont, wäre dies die richtige Einbettung. Stellen Sie sich den Teil unter dem Horizont als einen einseitigen Fluss in die Singularität vor.
Da wir nur Raum und nicht Zeit dargestellt haben, reicht die Einbettung nicht aus, um die Trajektorien von Partikeln in dieser Raumzeit zu rekonstruieren. Dennoch ist es eine genauere Darstellung eines Teils der Raumzeitkrümmung der Punktquelle - insbesondere des räumlichen Teils.
Die Geschwindigkeit des Objekts aus dieser Perspektive scheint zuzunehmen, bis ein Punkt erreicht ist, an dem die Geschwindigkeit in x, y-Koordinaten abnimmt, da der größte Teil der Bewegung in der Zeitdimension "nach unten" erfolgt. Ist das auch richtig? Würde sich ein Photon verlangsamen, wenn es sich von oben nach unten bewegt?
Das Obige ist eine Einbettung einer Scheibe räumlicher Geometrie und keine Schwerkraftbohrung. Die mathematische Form des Paraboloids über dem Horizont lässt sich am besten in Zylinderkoordinaten als $$ r = 2M + \ frac {z ^ 2} {8M} \ text {.} $$ beschreiben. Hier das vertikale $ z $ -Koordinate bedeutet physikalisch nichts. Es ist lediglich ein Artefakt der Erzeugung einer Oberfläche mit derselben intrinsischen Krümmung im euklidischen $ 3 $ -Raum wie die $ 2 $ -dimensionale räumliche Schicht der Schwarzschild-Geometrie.
Für die Schwarzschild-Raumzeit ist der radiale freie Fall tatsächlich genau Newtonsch die Schwarzschild-Radialkoordinate und die richtige Zeit, dh die Zeit, die das frei fallende Objekt erfährt, und nicht die Schwarzschild-Zeit. Die Newtonsche Schwerkraft ist also eigentlich kein schlechtes Bild für die Physik - es ist einfach nicht die Geometrie und daher auch keine gute Darstellung, wie ein Teil der Raumzeit gekrümmt ist. Für nicht-radiale Bahnen ist das effektive Potential etwas anders als das Newtonsche, aber wenn wir die Auswirkungen des Drehimpulses ignorieren, erhalten wir die Newtonsche Form.
In der Schwarzschild-Zeit ja, ein Photon (oder irgendetwas anderes) ) verlangsamt sich, wenn es sich dem Horizont nähert. Tatsächlich erreicht es in der Schwarzschild-Zeit nie den Horizont, was ein Hinweis darauf ist, dass sich die Schwarzschild-Koordinaten am Horizont schlecht verhalten. Die Koordinatenbeschleunigung wird tatsächlich in der Nähe des Horizonts abstoßend - und für ein ausreichend schnelles unfehlbares Objekt immer abstoßend. Dies kann so verstanden werden, dass sich das Teilchen an Orte mit immer größerer Gravitationszeitdilatation bewegt. Zur richtigen Zeit eines jeden unfehlbaren Beobachters ist die Beschleunigung jedoch in der Nähe des Horizonts immer attraktiv.