Frage:
Genauigkeit der Darstellung der Raumzeitkrümmung
frodeborli
2014-01-15 16:04:37 UTC
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Wenn sich ein Partikel durch die Raumzeit bewegt, wird dies manchmal in einem flachen Gitter mit verschiedenen Tiefen dargestellt. Wie genau ist diese Art, sich die Schwerkraft vorzustellen?

Kann die Schwerkraft unendlich tief sein?

Schwerkraft gut http://blakemaybank.com/wp-content/uploads/ 2012/12 / Gravity_well.gif

Wenn Sie sich diese Abbildung ansehen, deutet dies darauf hin, dass eine gewisse Entfernung den Brunnen hinunterführt. Ist die Bewegung im Brunnen durch die Lichtgeschwindigkeit begrenzt? Denken Sie daran, ich bin mir bewusst, dass es sich um eine Illustration handelt, und die Frage betrifft die Genauigkeit der Illustration.

Sind alle Gravitationsbohrungen im genauen Zentrum unendlich tief? Wenn ein Partikel so klein gemacht werden könnte, dass es in die Mitte passt, würde es zu einem Schwarzen Loch.

Zwei antworten:
#1
+8
Stan Liou
2014-01-15 18:43:08 UTC
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Die Newtonsche Schwerkraft einer Punktquelle kann durch ein Potential $ \ Phi = - \ mu / r $ beschrieben werden. Wenn wir eine räumliche Dimension unterdrücken und stattdessen den Wert dieses Potentials grafisch darstellen, erhalten wir etwas, das dieser Abbildung sehr nahe kommt und tatsächlich unendlich tief im Zentrum liegt - zumindest bei der Idealisierung einer Punktmasse . Und weiter vom Zentrum entfernt geht es flach, genau wie es viele Illustrationen wie diese haben.

Illustrationen wie diese sind ziemlich häufig, und ich vermute, dass sie letztendlich vom Newtonschen Potenzial inspiriert sind. weil sie fast nichts mit der Raumzeitkrümmung zu tun haben.

Hier ist eine isometrische Einbettung der Schwarzschild-Geometrie zu einem Zeitpunkt der Schwarzschild-Zeit, wiederum mit einer unterdrückten Dimension:

enter image description here

Über dem Horizont (roter Kreis) ist die Oberfläche ein Stück eines Paraboloids (das Flamm-Paraboloid ). Im Gegensatz zum Potenzial wird es bei großen Entfernungen nicht flach.

Isometrisch bedeutet, dass es die räumlichen Entfernungen über dem Horizont zu einem Zeitpunkt der Schwarzschild-Zeit korrekt darstellt. Unterhalb des Horizonts ist die Einbettung technisch nicht genau, da die Schwarzschild-Radialkoordinate dort nicht den Raum, sondern die Zeit darstellt. Wenn wir so tun, als wäre es raumartig unter dem Horizont, wäre dies die richtige Einbettung. Stellen Sie sich den Teil unter dem Horizont als einen einseitigen Fluss in die Singularität vor.

Da wir nur Raum und nicht Zeit dargestellt haben, reicht die Einbettung nicht aus, um die Trajektorien von Partikeln in dieser Raumzeit zu rekonstruieren. Dennoch ist es eine genauere Darstellung eines Teils der Raumzeitkrümmung der Punktquelle - insbesondere des räumlichen Teils.


Die Geschwindigkeit des Objekts aus dieser Perspektive scheint zuzunehmen, bis ein Punkt erreicht ist, an dem die Geschwindigkeit in x, y-Koordinaten abnimmt, da der größte Teil der Bewegung in der Zeitdimension "nach unten" erfolgt. Ist das auch richtig? Würde sich ein Photon verlangsamen, wenn es sich von oben nach unten bewegt?

Das Obige ist eine Einbettung einer Scheibe räumlicher Geometrie und keine Schwerkraftbohrung. Die mathematische Form des Paraboloids über dem Horizont lässt sich am besten in Zylinderkoordinaten als $$ r = 2M + \ frac {z ^ 2} {8M} \ text {.} $$ beschreiben. Hier das vertikale $ z $ -Koordinate bedeutet physikalisch nichts. Es ist lediglich ein Artefakt der Erzeugung einer Oberfläche mit derselben intrinsischen Krümmung im euklidischen $ 3 $ -Raum wie die $ 2 $ -dimensionale räumliche Schicht der Schwarzschild-Geometrie.

Für die Schwarzschild-Raumzeit ist der radiale freie Fall tatsächlich genau Newtonsch die Schwarzschild-Radialkoordinate und die richtige Zeit, dh die Zeit, die das frei fallende Objekt erfährt, und nicht die Schwarzschild-Zeit. Die Newtonsche Schwerkraft ist also eigentlich kein schlechtes Bild für die Physik - es ist einfach nicht die Geometrie und daher auch keine gute Darstellung, wie ein Teil der Raumzeit gekrümmt ist. Für nicht-radiale Bahnen ist das effektive Potential etwas anders als das Newtonsche, aber wenn wir die Auswirkungen des Drehimpulses ignorieren, erhalten wir die Newtonsche Form.

In der Schwarzschild-Zeit ja, ein Photon (oder irgendetwas anderes) ) verlangsamt sich, wenn es sich dem Horizont nähert. Tatsächlich erreicht es in der Schwarzschild-Zeit nie den Horizont, was ein Hinweis darauf ist, dass sich die Schwarzschild-Koordinaten am Horizont schlecht verhalten. Die Koordinatenbeschleunigung wird tatsächlich in der Nähe des Horizonts abstoßend - und für ein ausreichend schnelles unfehlbares Objekt immer abstoßend. Dies kann so verstanden werden, dass sich das Teilchen an Orte mit immer größerer Gravitationszeitdilatation bewegt. Zur richtigen Zeit eines jeden unfehlbaren Beobachters ist die Beschleunigung jedoch in der Nähe des Horizonts immer attraktiv.

Vielen Dank; Dies ist nur eine Fortsetzung des zweiten Teils der Frage. "Bewegung" den Brunnen hinunter. Wenn Sie es von oben betrachten, können Sie nur zwei physikalische Dimensionen beobachten. Die Geschwindigkeit des Objekts aus dieser Perspektive scheint zuzunehmen, bis ein Punkt erreicht ist, an dem die Geschwindigkeit in x, y-Koordinaten abzunehmen beginnt, da der größte Teil der Bewegung in der Zeitdimension "nach unten" erfolgt. Ist das auch richtig? Würde sich ein Photon verlangsamen, wenn es sich von oben gesehen den Brunnen hinunterbewegt?
#2
+2
censored user
2018-03-05 13:20:20 UTC
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Kann die Schwerkraft unendlich tief sein?

Nur wenn der Spinparameter eines rotierenden Schwarzen Lochs maximal ist, sodass die Rotationsgeschwindigkeit des Horizonts der Geschwindigkeit von entspricht Licht $ \ rm (a = M) $ das Integral der $ g _ {\ rm rr} $ -Komponente explodiert, und die isometrische Einbettung der Radialebene wird am Horizont unendlich (siehe Bardeen 1972, Abb. 2)). Hier ist Flamms Paraboloid für alle Spinparameter, solange der Spin subextrem ist, sind die Abstände endlich (wenn $ \ rm a = 0 $ ist, wird die äußere Schwarzschild-Lösung gewonnen):

enter image description here



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