Beide Ausdrücke sind falsch. Der erste sollte $$ \ frac {GM _ {\ text {moon}}} {(R _ {\ text {moon}} - r _ {\ text {planet}}) ^ 2 sein } - \ frac {GM _ {\ text {moon}}} {{R _ {\ text {moon}}} ^ 2} \ tag {1b} $$ span> oder $$ \ frac {GM _ {\ text {moon}}} {{R _ {\ text {moon}}} ^ 2} - \ frac {GM _ {\ text {moon}} {(R _ {\ text {moon} } + r _ {\ text {planet}}) ^ 2} \ tag {1a} $$ span> wobei $ R _ {\ text {moon}} $ span> ist der Abstand zwischen dem Zentrum des Planeten und dem Zentrum des Mondes. Gleichung (1a) bezieht sich auf den Punkt auf der Oberfläche des Planeten, der dem Mond am nächsten liegt, während (1b) sich auf den Punkt auf der Oberfläche des Planeten bezieht, der am weitesten vom Mond entfernt ist.
Beachten Sie, dass die Ergebnisse Einheiten haben eher der Beschleunigung als der Kraft. Die Gezeitenkraft auf eine kleine Masse auf der Oberfläche des Planeten ist das Produkt der Gezeitenbeschleunigung und der Masse dieser kleinen Masse.
Seit $ R _ {\ text {moon}} \ gg r_ \ text {planet} $ span> im Fall von Io und Jupiter und auch im Fall von Mond und Erde sind die beiden Ausdrücke nahezu gleich und beide wiederum sind fast gleich $$ 2 \ frac {GM _ {\ text {moon}} r _ {\ text {planet}}} {{R _ {\ text {moon}}} ^ 3} \ tag {2} $$ span> Dies ist die korrekte Version Ihres zweiten Ausdrucks.
Wenn Sie die Zahlen eingeben, stellen Sie fest, dass die vom Mond an der Oberfläche des Flusses ausgeübte Gezeitenbeschleunigung Die Erde beträgt 1,068 μm / s ^ 2, während die von Io an der Oberfläche des Jupiter ausgeübte Gezeitenbeschleunigung 9,014 μm / s ^ 2 beträgt - über das 8-fache der vom Mond an der Erdoberfläche verursachten Gezeitenbeschleunigung. Dies zeigt nicht ganz das Ausmaß der Gezeiten, die Io auf Jupiter (oder der Mond auf der Erde) ausgelöst hat.
Es ist wichtig zu beachten, dass sich die Gleichungen (1) und (2) nur auf zwei spezielle Punkte beziehen, den Submondpunkt und seinen Antipoden. Die Gezeitenbeschleunigung an dem Punkt, an dem sich der Mond am Horizont befindet, beträgt die Hälfte des Wertes von Gleichung (2) und ist nach innen gerichtet. Was schön wäre, wäre ein potentielles Modell, dessen Gradient zu Gleichung (2) und auch zur Einwärtsbeschleunigung am Horizont führt. Diese mögliche Funktion ist in erster Ordnung $$ V = \ frac {GM _ {\ text {moon}} {r _ {\ text {planet}}} ^ 2} {{R_ {\ text {moon}}} ^ 3} \ frac {3 \ cos \ phi ^ 2-1} {2} $$ span> wobei $ \ phi $ span> ist der Winkel zwischen dem Liniensegment zwischen dem Mittelpunkt des Planeten und dem Zentrum des Mondes und dem Liniensegment zwischen dem Mittelpunkt des Planeten und dem fraglichen Punkt auf der Oberfläche des Planeten.
Wenn der Planet aus einer fiktiven reibungsfreien Flüssigkeit bestehen würde, würde die Flüssigkeit einen prolateralen Sphäroid bilden, dessen Höhe in einem bestimmten Winkel $ phi $ span> sich von der mondlosen Kugelform des Planeten unterscheidet $ V (\ phi) / g_ \ text {planet} $ span>. Die Höhe der Gezeitenwölbung ist die Differenz zwischen dem Maximum bei $ \ phi = 0 $ span> und dem Minimum bei $ \ phi = \ pi / 2 $ span> oder $$ h = \ frac32 \ frac {M _ {\ text {moon}}} {M _ {\ text {planet}}} \ frac {{r _ {\ text {planet}}} ^ 4} {{R _ {\ text {moon}}} ^ 3} $$ span>
Beim Einstecken der gefundenen Zahlen dass die vom Mond auf einer fiktiven reibungslosen Flüssigkeit Erde erzeugte Gezeitenwölbung 0,5327 Meter betragen würde, während die von Io auf einer fiktiven reibungslosen Flüssigkeit Jupiter erzeugte Gezeitenwölbung 22,52 Meter betragen würde - mehr als das 42-fache der vom Mond auf der Erde angehobenen Gezeiten die Erde.
Während weder Jupiter noch die Erde aus einer solchen fiktiven Flüssigkeit bestehen, liefert die Höhe der Gezeitenwölbung dennoch ein schönes Bild davon, wie groß die Gezeiten sein können, die aus einem Mond resultieren.